Es gelten die folgenden Rechengesetze für Vektoren:
\(
\begin{eqnarray}
\hbox{Kommutativgesetz} &:& \vec{a} + \vec{b} &=& \vec{b} + \vec{a}\\
\hbox{Assoziativgesetz} &:& \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})&=& (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}\\
\end{eqnarray}
\)
und mit \(r,s \in\mathbb{R}:\)
\(
\begin{eqnarray}
\hbox{Assoziativgesetz} &:& r\cdot(s \cdot \vec{a}) &=& (r \cdot s) \cdot \vec{a}\\
\hbox{Distributivgesetz} &:& r \cdot(\vec{a} + \vec{b})&=& r \cdot\vec{a} + r \cdot\vec{b} \\
\end{eqnarray}
\)
zueinander parallel | Richtungsvektoren sind linear abhängig \( \vec u = k \cdot \vec v\) und \(P\) liegt nicht in \(h\) (Punktprobe negativ) | |
identisch | Richtungsvektoren sind linear abhängig und \(P\) liegt in \(h\) (Punktprobe positiv) | |
sich schneidend | die Gleichung \( \vec p + r \cdot \vec u = \vec q + s \cdot \vec v \) hat eine Lösung | |
zueinander windschief | die Gleichung \( \vec p + r \cdot \vec u = \vec q + s \cdot \vec v \) hat keine Lösung |
Außerdem gilt im rechtwinkligen Dreieck \(\Delta OA'B \): \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{OA'}|}{|\vec b|} \), so erhält man $$\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha), {\rm\; für \; } 0^\circ \leq \alpha\leq 180^\circ $$